Благодарность
Поздравляем
Анахита
Анахита
Lapika
Lapika

Игры разума или...

Встречи, фотоотчеты, обсуждения встреч. Города, Республики, Страны. Наши совместные наработки.

Модераторы: DK, навигатор, Модераторы

Re: Игры разума или...

Сообщение КриоГен » 28 сен 2019, 22:20

А была тут задачка про 13 монет? )

Есть 13 одинаковых монет.
Одна из них фальшивая - она отличается весом. Неизвестно в большую или меньшую сторону.
Есть чашечные весы, которые позволяют сравнивать вес двух грузов (результат: больше/меньше/равно).
За 3 взвешивания найти фальшивую монету.
КриоГен
Модератор
Модератор
 
Сообщения: 2411
Зарегистрирован:
14 май 2017, 06:31
Благодарил (а): 73 раз.
Поблагодарили: 201 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 29 сен 2019, 21:06

Спасибо. Уже хожу день, периодически, но редко, подумываю над ней. Надо сказать, что я знаю про такой класс задач (взвешивание), у меня была книга "Московские математические олимпиады". Но ни разу не брался их решать. Поэтому - интересно.

Сначала я подумал, что надо пополам разделить и взвесить. Но это будет лишней тратой ходов. Я сообразил, что можно кучку из двух, даже и трёх, сразу отложить. Три, если среди НИХ ИМЕННО фальшивая, за второй ход определяются, значит можно брать ещё больше в отложенную кучу.

Также, я подумал что 11 монет и уже хотел их разбить 4+4+3. А тут, оказывается, 13. Тогда 5+4+4?
5+5+3? - вряд ли, как я уже говорил трёха решается за второй ход, а по смыслу задачи всё должно быть впритирку.

Похоже, я уже близок к решению, но торопиться не хочу (чисто по приколу). Если кто решит - кидайте решение под спойлер.
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение КриоГен » 29 сен 2019, 21:12

Да, я над этой задачей думал несколько вечеров.
Сложная...
КриоГен
Модератор
Модератор
 
Сообщения: 2411
Зарегистрирован:
14 май 2017, 06:31
Благодарил (а): 73 раз.
Поблагодарили: 201 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 29 сен 2019, 21:16

Допустим, мы отложим кучу из ПЯТИ. Тогда нам надо доказать, что пятёрка, если в ней фальшивая монета, решается за два хода.
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение КриоГен » 29 сен 2019, 21:24

Может я плохо условие сформулировал...
Ты можешь ложить на чаши весов кучки монет и сравнивать вес этих кучек.
Результат сравнения это 3 возможных показания: левая кучка тяжелее правой, левая кучка легче правой, или вес равный.
КриоГен
Модератор
Модератор
 
Сообщения: 2411
Зарегистрирован:
14 май 2017, 06:31
Благодарил (а): 73 раз.
Поблагодарили: 201 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 29 сен 2019, 21:34

Да нет - всё понятно отлично с самого начала. Пока я рассматриваю такую гипотетическую ситуацию: взвешиваем 4 vs 4, а 5 отложили.

Либо 4 = 4 и тогда надо доказать, что за оставшихся 2 хода я решу пятёрку (найду в ней фальшивку).

Либо 4 <> 4 и тогда за 2 оставшихся хода надо решить четвёрку (найти в ней фальшивку).

Пятёрку решить сложнее, поэтому я хочу начать с доказательства, что я смогу её решить.

===
Кстати, заметил косяк, если одна 4 тяжелее, вторая 4 легче - это не скажет, в какой куче четвёрок искать фальшивку. По условию фальшивка м.б. и тяжелее и легче. Хм, ещё интереснее! Тогда я пока не представляю как тут срастается за 2 хода, если мы не знаем нужную кучу после первого хода. Нужен какой-то хитрый трюк.

===
Также и трёха гарантированно не решается за второй ход, всё из за условия - что мы не знаем - тяжелее фальшивка или легче. За 2 и 3 ходы - естественно, да. Но у нас очень мало ходов и много монет. Раз так - нельзя сбрасывать со счетов разбивку 5+5+3. Избыточности тут не наблюдаю, получается.
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение КриоГен » 29 сен 2019, 21:36

Да, ты на правильном пути.

Сначала сравниваются 4 и 4.
Потом разбираться с 5 оставшимися.
Пятёрка решается за 2 хода.
КриоГен
Модератор
Модератор
 
Сообщения: 2411
Зарегистрирован:
14 май 2017, 06:31
Благодарил (а): 73 раз.
Поблагодарили: 201 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 29 сен 2019, 21:58

Спасибо. Обожаю хитрые задачи такого плана. Ща листочек возьму и ручку и подумаю.

Вообще, крутую задачу придумать - это само по себе супер-задача.
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 29 сен 2019, 22:34

Ну понятно, что надо разбираться с пятёркой. И я застрял.

Разбиваем 2+2+1. 2 vs 2 (1 отложили). Ну и одна двойка <> второй двойки. Непонятно, в какой куче двоек фальшивка.

Код: Выделить всё
A(тяж)    C(лег)
       >
B(тяж)    D(лег)


То ли монета A тяжелее, то ли B. То ли C легче, то ли D. И остался 1 ход. Что-то тут хитрое что ли есть, трюк какой-то... В итоге мне думать уже надоело.

Разбить 1 vs 1 (3 отложили) - тройка, как я понял, не решается за 1 ход, это по-моему, самое очевидное, в силу малого количества вариантов.
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение КриоГен » 29 сен 2019, 22:50

После того, как ты получил 4 = 4,
у тебя есть 8 гарантированно хороших монет.
Осталось 5 непроверенных.
Сравниваем 3 из этих 5 и 3 гарантированно хороших.
Дальше думай.
Там осталась всего одна тонкость когда 4<>4 на первом шаге.
И там действительно трюк.
Не привыкли мы к троичной логике...

Хотя, я понимаю, что никто не будет тратить кучу времени на сложную и бесполезную задачу.
Завтра вечером напишу решение, просто чтобы удовлетворить любопытство...
КриоГен
Модератор
Модератор
 
Сообщения: 2411
Зарегистрирован:
14 май 2017, 06:31
Благодарил (а): 73 раз.
Поблагодарили: 201 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 30 сен 2019, 09:59

КриоГен писал(а):Сравниваем 3 из этих 5 и 3 гарантированно хороших.

Такая мысль в комбинаторике у меня была, так как я всё перебрал. Но что-то полезной она мне не показалась. Не досчитал что ли...

===
Или у меня была мысль 2 или 4 гарантированно хороших сравнить с двумя или четырьмя, отмёл, а до трёх я не дошёл. Сам-то принцип мне в голову пришёл.

===
После этой подсказки, конечно, элементарщина. Такой взвес даёт нам определить фальшивая куча из трёх ТЯЖЕЛЕЕ или ЛЕГЧЕ. А затем 1 vs 1 но зная тяжелее или легче - тройка решается за 1 ход. Из оставшихся двух тоже за 1 ход решается (а вот это мой просчёт, я пытался думать, если тройка не решается гарантированно за 1 ход, то решается ли двойка? - и почему-то ответил себе - да и двойка не решается. А если бы я сообразил, что двойка решается, я бы понял что надо отложить два.) И понял, почему не сообразил. Я решал двойку в отрыве от первого шага, независимо. В то время как первый шаг уже дал нам кое-что важное.

Получилось, как в анекдоте:
Идёт экзамен по логике.
Профессор:
- На борту самолёта 500 кирпичей. Один кирпич выпал из самолёта. Сколько на борту осталось кирпичей?
Студент:
- Ну, это легко! 499!
- Правильно. Следующий вопрос. Как поместить слона в холодильник в три приёма?
- 1. Открыть холодильник. 2. Поместить туда слона. 3. Закрыть холодильник.
- Дальше. Как поместить оленя в холодильник в четыре приёма?
- 1. Открыть холодильник. 2. Вынуть оттуда слона. 3. Положить оленя. 4. Закрыть холодильник.
- Отлично! У царя зверей льва день рождения! Поздравить его пришли все животные, кроме одного. Почему?
- Потому что олень всё ещё находится в холодильнике.
- Великолепно! - говорит профессор. - Пойдём дальше. Может ли бабуля пройти через болото с крокодилами?
- Конечно, может! Ведь все крокодилы ушли праздновать день рождения льва.
- Хорошо! А теперь последний вопрос. Бабуля прошла через пустое болото, но всё равно умерла. Что с ней случилось?
- Э-э-э... Может быть, сердечный приступ?
- А вот и нет! На неё упал кирпич, который, как вы помните, выпал из самолёта. Через недельку, голубчик, придёте ко мне на пересдачу!..


Там осталась всего одна тонкость когда 4<>4 на первом шаге.

Над этим ещё буду думать, так как подсказка дала мне новые возможные ключи (на что я, кстати, и рассчитывал).

===
Сегодня работы много, думать буду в своб. время.
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 30 сен 2019, 11:51

Ещё в чём прикол в этой задаче, что она не дробится на отдельные подзадачи. Например, задача отыскать в 5 монетах фальшивую за 2 хода не имеет смысла (не решаема).

Поэтому как я уже и говорил, придумать такую хитрую задачу, - это респектос создателям.
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение КриоГен » 01 окт 2019, 08:01

Lever писал(а):Получилось, как в анекдоте


Анекдот классный! )
Не слышал такого.

Хорошо.
Здесь описание трюка на втором шаге, когда 4<>4.
Не открывай, если хочешь сам подумать.
Имеем 4<>4 и у нас есть 5 хороших монет.
Делаем следующие перестановки:
- убираем 3 монеты с первой чаши
- на их место перемещаем 3 монеты со второй чаши
- дополняем вторую чашу тремя хорошими монетами
То есть, 3 монеты ушли, 3 переместились и 2 остались на своих местах
Теперь проводим взвешивание и смотрим как изменился результат.
Если стало 4=4, значит фальшивая в той тройке, которая ушла.
Если знак неравенства изменился на противоположный, значит фальшивая в той тройке, которая переместилась.
Если знак неравенства не изменился, значит фальшивая среди двух монет, которые остались на своих местах.
На третьем шаге у нас решение соответствующей тройки или двойки.
Поскольку обе тройки были на весах при первом взвешивании, мы уже знаем вес фальшивой монеты.

И я в упор не помню, как мне удалось найти это решение.
Есть стойкое ощущение, что сейчас я бы думал гораздо дольше.

Вообще, исходная задача (её принёс один человек у нас на работе) была про 12 монет, но там было требование не только найти фальшивую монету, но и определить её вес (в смысле, тяжелее она или легче).
Если не обязательно определять вес, то она решается и для 13.
Короче, я немного модифицировал. )

Я специально не искал, но натыкался в инете, что эту задачу кто-то уже хорошо разобрал,
и даже указал общий принцип для любого кол-ва монет.
КриоГен
Модератор
Модератор
 
Сообщения: 2411
Зарегистрирован:
14 май 2017, 06:31
Благодарил (а): 73 раз.
Поблагодарили: 201 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 13 окт 2019, 00:05

Кодер эту задачу с монетами решил за полтора часа с момента, как я кинул ему условие. Мда, чего-то я тут сплоховал... Но реально дел много было, а задача не особо привлекала.

Кодер писал(а):Пока что я вижу 2 ориентира. 1) при каждом взвешивании мы получаем некоторое кол-во гарантированно настоящих монет;
2) если на каком-то этапе мы получим информацию, легче или тяжелее фальшивая монета - то далее можем использовать известный алгоритм 3^n
18:28
Но за 1 взвешивание информацию по п.2 получить нельзя. Если её можно получить за 2 взвешивания - то необходимо, чтобы оставшаяся группа подозреваемых содержала не более 3 монет.
18:34
Зайдём вот с какой стороны. Допустим, мы разделили исходные 13 монет на 3 группы по n, n и m монет, m нечётное. Взвесили первые 2 группы между собой. Допустим, вес оказался равным, тогда у нас будет 2n настоящих монет и m подозреваемых, и никакой информации о том, легче или тяжелее фальшивая монета. И 2 взвешивания осталось.
Скорее всего будет 2n>m, так что можно считать, что у нас сколько угодно настоящих монет в качестве образцов. В этих условиях надо определить, насколько большим может быть m, чтобы найти фальшивую монету за 2 взвешивания.
Первый способ. Оставляем 2 монеты из m в стороне, остальные сравниваем с таким же кол-вом настоящих. Если вес окажется равным - то за оставшееся одно взвешивание мы сможем определить, какая из двух монет фальшивая, сравнивая вес одной из них с гарантированно настоящей.
Пусть p=m-2. Если на втором взвешивании, описанном выше, вес будет неравным - то подозреваемыми окажется p монет, причём будет известно, в какую сторону отличается вес фальшивой монеты. Поэтому максимально может быть p=3, m=5.
13-5=8
И на первом взвешивании у нас будет 2 группы по 4 монет
Теперь рассмотрим случай, когда их вес неравный. Будем иметь 8 подозреваемых монет в группах по 4, и 5 гарантированно настоящих
18:53
На втором взвешивании, даже, если вес окажется равным, мы скорее всего, сможем в этом случае определить, в какую сторону отличается вес фальшивой. Поэтому мы можем отложить из 8 подозреваемых до 3 монет в сторону.
Например, из первой группы по 4 откладываем 3 в сторону. Вместо них берём и помечаем 3 из второй группы. На их место во вторую группу добавляем гарантированно настоящие.
Допустим, после этого вес оказался равным. Тогда фальшивая одна из трёх выложенных, и мы знаем (в зависимости от того, легче или тяжелее была эта группа на 1 взвешивании), в какую сторону отличается вес фальшивой монеты. Тогда из 3 находим фальшивую за последнее оставшееся взвешивание по известному алгоритму.
Допустим, весы отклонились в ту же сторону. Тогда 3 раз взвешивать не нужно, и фальшивая - та, которую не выложили из 1 группы.
Хотя нет, тогда фальшивая либо та, которую не тронули в 1 группе, либо та, которую не тронули во второй. В любом случае мы её определим на третьем взвешивании.
Если же весы отклонились в противоположную сторону - значит, фальшивая одна из 3 монет, которые переложили из 2 группы в первую, и известно, в какую сторону отличается вес фальшивой монеты. Тогда на третьем взвешивании мы точно выясним, какая из них.
Всё!
Вроде, рассмотрел все случаи. Задача решена!


Эту тему даже не смотрел... Решение получил первым от Кодера.

===

а так вообще, физмат сила, конечно. Если бы Кодер ещё решил задачу про бегающего по воде человека...
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение КриоГен » 13 окт 2019, 00:20

Lever писал(а):Кодер эту задачу с монетами решил за полтора часа с момента, как я кинул ему условие.

Да, 1.5 часа это сильно!

Lever писал(а):Если бы Кодер ещё решил задачу про бегающего по воде человека...

А что за задача?
КриоГен
Модератор
Модератор
 
Сообщения: 2411
Зарегистрирован:
14 май 2017, 06:31
Благодарил (а): 73 раз.
Поблагодарили: 201 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 13 окт 2019, 00:25

Формулируется она просто:
"Оцените порядок скорости, с которой человек должен бежать по воде, чтобы не тонуть."
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение КриоГен » 13 окт 2019, 00:54

Знакомая задача.
Кажется это из вступительных на МФТИ или из олимпиад по физике.
Тут важно подобрать правильный подход.
Но думать лень... )
КриоГен
Модератор
Модератор
 
Сообщения: 2411
Зарегистрирован:
14 май 2017, 06:31
Благодарил (а): 73 раз.
Поблагодарили: 201 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 14 окт 2019, 07:54

Это тест.
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение Lever » 21 окт 2019, 08:12

Кодер:
А вот тебе ещё интересная задача на теорию игр
Играем с тобой в следующую игру: я загадываю число от 1 до 3, ты угадываешь
Если с первой попытки угадал - то ты выиграл. Если не угадал, то я сообщаю тебе, больше моё число твоего или меньше
Если ты угадал со второй попытки - то ничья (0/0)
Если не угадал со второй попытки - то ты проигрываешь (-1/+1)

Андрей 11:14
имеет смысл вроде 2 называть

Кодер 11:14
Очевидная для тебя стратегия - называть всегда число 2 сначала. Тогда ты гарантированно угадаешь со второй попытки, и ничья обеспечена
Но тогда я всегда буду загадывать 1 или 3, и ты ничего не выиграешь.
Вопрос: существует ли для тебя стратегия, дающая ожидаемый выигрыш больше нуля, и если да - то как она выглядит?
При условии, что я буду знать твою стратегию и играть оптимальную контр-стратегию.

Андрей 11:21
ну можно одно время двойку поназывать, а потом сменить стратегию
ты всегда будешь на шаг позади

Кодер 11:22
Я хотел поставить и решить аналогичную задачу для более широкого диапазона, но это слишком сложно оказалось, а вот для 1-3 решение относительно простое

Андрей 11:23
если ты попробуешь адаптироваться, можно опять вернуться к двойке

Кодер 11:24
Ты не можешь считать, что я на шаг позади потому, что мне полностью известна твоя стратегия от начала до конца, кроме случая, когда она содержит случайные элементы. Случайные элементы неизвестны заранее ни тебе, ни мне. Известны обоим только детерминированные решения.

Андрей 11:24
нет, ты на шаг позади
ты не знаешь, в какой момент я брошу называть 2
таким образом 1 выигрыш я точно сделаю

Кодер 11:26
Ок. А теперь посчитай средний выигрыш при числе игр, стремящемся к бесконечности.

Андрей 11:27
но если тут в процентном соотношении есть выигрыш, мне он не виден
игра почти кажется честной

Кодер 11:27
Скажу сразу, что эта стратегия 1) неоптимальная; 2) трудно посчитать средний выигрыш
Но ты прав, средний выигрыш больше нуля сделать возможно

Андрей 11:44
ну едиственное что я тут вижу, как-то построить стратегию на избегании "тобой" цифры 2, больше думать пока не хочу

Кодер 11:49
Да, если я всегда избегаю 2, то ты можешь тоже избегать 2 и называть всегда 1 или 3, тогда 50/50 ничья или твой выигрыш.
Но, зная это, я всегда буду называть 2, и тогда ничья мне обеспечена :)

Андрей 11:51
ну опять мы путаем постоянную стратегию и адаптацию

Кодер 11:53
Тут видишь, если ты оптимально подстроился под какую-то мою стратегию - то я тоже могу подстроиться играть ей оптимальную контр-стратегию. Потом ты опять подстроишься, потом я и т.д. однако, если один из нас будет играть равновесную по Нэшу стратегию - то любая подстройка против неё окажется бессмысленной, т к средний выигрыш (или проигрыш) от этого не изменится

Андрей 11:57
то есть моя задача - найти равновесную по Нэшу стратегию, которая принесет выигрыш на дистанции независимо от твоих действий

Кодер 11:57
Да
При этом ты, как побочный результат, найдёшь и для меня равновесную по Нэшу стратегию.
Когда оба игрока играют равновесные по Нэшу стратегии, то любое отклонение от этого им невыгодно, так как выигрыш (в случае оптимальной подстройки противника) может только уменьшиться
"Denn du musst auch hart sein, wenn der Beat nicht mehr läuft"
ДИСА: Делай только то, что Ты действительно хочешь

Мой форум: http://bmcsoft.ru/forum
Аватара пользователя
Lever
Координатор
Координатор
 
Сообщения: 7930
Зарегистрирован:
16 окт 2006, 13:02
Откуда: Чехов, Подмосковье
Благодарил (а): 570 раз.
Поблагодарили: 366 раз.

Re: Игры разума или...

Сообщение КриоГен » 21 окт 2019, 08:19

Lever писал(а):Кодер:
А вот тебе ещё интересная задача на теорию игр


Ого!
Я теорией игр не занимался.
Но тут можно самостоятельно подумать.
Очень интересно.
КриоГен
Модератор
Модератор
 
Сообщения: 2411
Зарегистрирован:
14 май 2017, 06:31
Благодарил (а): 73 раз.
Поблагодарили: 201 раз.

Пред.

  • Похожие темы
    Комментарии
    Просмотры
    Последнее сообщение

Вернуться в ВСТРЕЧИ ЕДИНОМЫШЛЕННИКОВ

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1